# Діалог 16 – Магія 24

**Спрекер: Привіт, Наро! Ти запропонувала детальніше поглянути на число 24. Що це взагалі означає?**

Нара: Ти пам’ятаєш, де нам уже зустрічалося 24?

**Спрекер: Так, у кривій Коха. Ти хочеш розповісти мені більше про фрактали?**

Нара: Ні, але ти правий. У кривій Коха модуль 24 дорівнював 0 на інтервалах при вершині, які починалися з 4 в степені k, де k було більшим за 1. Але чи помітила ти також у єгипетському множенні, що починаючи з четвертого встановленого біта числа завжди дорівнюють 0 за модулем 24?

**Спрекер: О, справді! І в цьому вся магія?**

Нара: Давай зробимо таблицю з 3 стовпчиками. Посередині запишемо непарні числа, а в 1-му стовпчику – їхні прямі непарні попередники, якщо вони є. І в 3-му стовпчику – наступне значення після того, як ми обчислили 3n+1. Потім скопіюємо стовпчик 1 і стовпчик 3 і запишемо туди значення модулів для 2, 4, 8 і 16. Поки що візьмемо лише 12 непарних чисел – тобто ті, що зустрічаються до 24. Почнемо спочатку з 1; потім із 25; потім із 49...

**Спрекер: Гей, значення модулів для 2, 4 та 8 залишаються стабільними! Чому це так?**

Нара: Це пов’язано з особливим інтервалом числа 24. Наприклад, ти знаєш дні тижня – понеділок, вівторок, середа, четвер, п’ятниця, субота, неділя. Це постійно повторюється у фіксованому 7-денному ритмі.

**Спрекер: Але як це допоможе нам зараз із гіпотезою Коллатца?**

Нара: Якщо ми візьмемо 24, то в кожному інтервалі буде 12 непарних чисел, і якщо ми візьмемо остачу від ділення на 8, результат буде постійно повторюватися.

**Спрекер: Тобто тут є ритм! Однак ми використовуємо модуль 8 від модуля 24. Це дуже абстрактно. Чи не можна це візуалізувати? Що, якби ми просто зігнули числовий промінь від 1 до 24 у коло? Як циферблат годинника на 24 години.**

Нара: Чудова ідея! На цьому годиннику ми потім намалюємо стрілку для кожного непарного числа до тієї точки, куди воно потрапляє після обчислення 3n+1 за модулем 24. Ось малюнок. Я позначила для тебе кольором, які непарні наступні числа стають більшими чи меншими.

**Спрекер: Вау! Але чому до деяких чисел взагалі немає стрілок, а до інших – аж три?**

Нара: Числа 6, 12, 18 і 0 не отримують стрілок, тому що вони діляться на три. Щодо 4, 10, 16 і 22 мені доведеться пояснити детальніше: кожне непарне число можна записати як 2k+1. Якщо ми застосуємо до нього правило Коллатца, станеться таке: 3×(2k+1)+1 після розкриття дужок дає 6k+3+1, тобто коротко: 6k+4. Якщо ми послідовно підставимо замість k значення 0, 1, 2 і 3, то отримаємо наші числа-«приймачі»: 6(0)+4=4, 6(1)+4=10, 6(2)+4=16 і 6(3)+4=22. На наступному кроці, при k=4, ми потрапляємо в 28 – що дає остачу 4 в нашій 24-годинній системі. Коло замкнулося.

**Спрекер: І це також пояснює, чому 2, 8, 14 і 20 не отримують стрілок?**

Нара: Ці числа йдуть за ритмом 6k+2. Оскільки функція 3n+1 для непарних чисел незмінно дає результати виду 6k+4, потрапити в ці «сліпі зони» просто неможливо.

**Спрекер: Захоплююче! Але ж правила Коллатца також ділять парні числа на два. Іноді навіть кілька разів. У сиракузькій послідовності ми робимо це завжди.**

Нара: Ти абсолютно правий! Проте на нашому годиннику стрілки вказують на парні числа. Сиракузька послідовність вказувала б на непарні числа. Тоді 6k+4 перетворилося б на 3k+2. Недосяжні парні числа мають вигляд 3k+1. Що ми цим пояснюємо: функція Коллатца виключає певні числа. І робить це за стабільним шаблоном. Після цього береться OddCore (непарне ядро) числа, щоб знову виключити числа. Але ж ми вивели 4 правила, за допомогою яких ми переходимо безпосередньо до наступного непарного числа.

**Спрекер: Гаразд, модуль 24 допоміг нам зрозуміти, що числа виду 6k+2 (або відповідно 3k+1) є недосяжними. Але як тоді наші 4 правила модуля 8 виглядають на колі?**

Нара: Якщо ми проведемо стрілки напряму від одного непарного числа до іншого непарного числа, це виглядатиме як на цій діаграмі.

**Спрекер: І що це нам говорить?**

Нара: Подивись, насправді два з цих правил генерують стрілки за годинниковою стрілкою – це ті, де модуль 8 дорівнює 3 і 7; вони роблять числа більшими. А інші правила генерують стрілки проти годинникової стрілки – це ті, де модуль 8 дорівнює 1 і 5; вони роблять числа меншими.

**Спрекер: Чи для цього на колі завжди має бути лише 12 непарних чисел? Або запитати по-іншому: чи прив’язана кількість точок саме до модуля 24?**

Нара: Ні! Абсолютно байдуже, скільки непарних чисел стоїть поспіль на колі. Проте мати більше ніж 4 точки має сенс, оскільки у нас є 4 правила.

**Спрекер: Чи можеш ти це, будь ласка, візуалізувати? Спочатку з 4 точками, а потім до 1000 точок?**

Нара: Із задоволенням. Ось потрібна анімація. Червоні лінії – це стрілки, які йдуть за годинниковою стрілкою; сині та зелені стрілки йдуть проти годинникової стрілки.

**Спрекер: А що, якщо ми відобразимо в ній послідовність 27?**

Нара: Тут я наклала для тебе послідовність Коллатца 27 поверх діаграми.

**Спрекер: Сама по собі послідовність виглядає жахливо, але всі значення разом – це якось по-особливому красиво.**

Нара: Рада це чути! Хочеш дізнатися щось іще?

**Спрекер: Ні, на сьогодні досить! Я ще вийду на зв'язок...**

Нара: Добре! Сьогодні знову було багато інформації. Якщо матимеш бажання, ти можеш сам протестувати все, про що ми говорили. Посилання в описі до відео.


Source: [https://www.3n-1.de/cms/uk:collatz:16](https://www.3n-1.de/cms/uk:collatz:16)